Макроэкономический симулятор: модель \(IS-MR-PC\)

\[\begin{align} y_t &= mult_A(AE_0 - br_{t-1} + \varepsilon^{AD}_t) \\ \pi_t &= \chi \pi^T + \theta E_{t-1} \pi_t + (1-\chi-\theta) \pi_{t-1} + \alpha (y_t - y_e) + \varepsilon^\pi_t \\ y_t - (y_e+k) &= -\alpha\beta(\pi_t - \pi^T) \end{align}\]

Обозначим разрыв выпуска как \(x_t\), отклонение процентной ставки от естественного уровня как \(\hat{r}_t\), а инфляции от таргета - \(\hat{\pi}_t\). Тогда: \[\begin{align} x_t &= -mult_Ab\hat{r}_{t-1} + mult_A \varepsilon^{AD}_t \\ \hat{\pi}_t &= \theta E_{t-1}\hat{\pi}_t + (1-\chi-\theta)\hat{\pi}_{t-1} + \alpha x_t + \varepsilon^\pi_t \\ x_t - k &= -\alpha\beta\hat{\pi}_t \end{align}\]

В уравнении инфляции присутствует рациональное ожидание. Чтобы понять, как оно формируется, возьмём ожидание двух последних уравнений системы для периода \(t-1\). При упрощении воспользуемся тем фактом, что математическое ожидание случайных шоков равно нулю, \(E_{t-1} E_{t-1} x_t = E_{t-1} x_t\), а \(E_{t-1} x_{t-1} = x_{t-1}\): \[\begin{align} E_{t-1} \hat{\pi}_t &= \theta E_{t-1}\hat{\pi}_t + (1-\chi-\theta)\hat{\pi}_{t-1} + \alpha E_{t-1} x_t \\ E_{t-1} x_t &= k -\alpha\beta E_{t-1} \hat{\pi}_t \end{align}\] Тогда: \[\begin{align} E_{t-1} \hat{\pi}_t &= \theta E_{t-1}\hat{\pi}_t + (1-\chi-\theta)\hat{\pi}_{t-1} + \alpha (k -\alpha\beta E_{t-1} \hat{\pi}_t) \\ E_{t-1} \hat{\pi}_t &= \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} \hat{\pi}_{t-1} \\ E_{t-1} \pi_t &= \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_{t-1} - \pi^T) \end{align}\]

Теперь мы можем вывести уравнение, описывающее динамику инфляции: \[\begin{align} \pi_t = \chi \pi^T + \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_{t-1} - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_{t-1} + \alpha (y_t - y_e) + \varepsilon^\pi_t \end{align}\] Чтобы вывести динамику реальной ставки процента, преобразуем уравнение кривой \(MR\): \[\begin{align} x_t &= k -\alpha\beta\hat{\pi}_t = k - \alpha \beta \left( \chi \pi^T + \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_{t-1} - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_{t-1} + \alpha x_t + \varepsilon^\pi_t - \pi^T \right) \\ x_t &= \frac{k}{1+\alpha^2\beta} - \frac{\alpha\beta}{1+\alpha^2\beta} \left( \chi \pi^T + \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_{t-1} - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_{t-1} + \varepsilon^\pi_t - \pi^T \right) \end{align}\] Объединим уравнения кривой \(MR\) и \(IS\):

\[\begin{align} x_t &= -mult_Ab\hat{r}_{t-1} + mult_A \varepsilon^{AD}_t \\ x_t &= \frac{k}{1+\alpha^2\beta} - \frac{\alpha\beta}{1+\alpha^2\beta} \left( \chi \pi^T + \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_{t-1} - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_{t-1} + \varepsilon^\pi_t - \pi^T \right) \\ -mult_Ab\hat{r}_{t-1} + mult_A \varepsilon^{AD}_t &= \frac{k}{1+\alpha^2\beta} - \frac{\alpha\beta}{1+\alpha^2\beta} \left( \chi \pi^T + \theta \left( \pi^T + \alpha k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_{t-1} - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_{t-1} + \varepsilon^\pi_t - \pi^T \right) \end{align}\] Сдвинем в последнем выражении временной индекс на \(+1\) и возьмём математическое ожидание:

\[\begin{align} -mult_Ab\hat{r}_t &= \frac{k}{1+\alpha^2\beta} - \frac{\alpha\beta}{1+\alpha^2\beta} \left( \chi \pi^T + \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_t - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_t - \pi^T \right) \\ \hat{r}_t &= -\frac{k}{mult_Ab(1+\alpha^2\beta)} + \frac{\alpha\beta}{mult_Ab(1+\alpha^2\beta)} \left[ \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_t - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_t - (1-\chi) \pi^T \right] \\ r_t &= r_e -\frac{k}{mult_Ab(1+\alpha^2\beta)} + \frac{\alpha\beta}{mult_Ab(1+\alpha^2\beta)} \left[ \theta \left( \pi^T + \frac{\alpha}{1-\theta + \alpha^2 \beta} k + \frac{1-\chi-\theta}{1-\theta + \alpha^2 \beta} (\pi_t - \pi^T) \right) + (1-\chi-\theta) \pi_t - (1-\chi) \pi^T \right] \end{align}\]